Задание 18144

Задание 19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи четыре камня или убрать из кучи шесть камней или уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до большего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 16, 14 или 10 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 20. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21

Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение

def game(x, p):
    if x <= 19: return p % 2 == 0
 
    if p == 0: return False
 
    h = [game(x - 4, p - 1), game(x - 6, p - 1), game(x // 2 + x % 2, p - 1)]
 
    return any(h) if (p - 1) % 2 == 0 else all(h)
 
print([s for s in range(300, 19, -1) if game(s, 2)])
print([s for s in range(300, 19, -1) if not(game(s, 1)) and game(s, 3)])
print([s for s in range(300, 19, -1) if not(game(s, 2)) and game(s, 4)])

Разбор кода

Функция game(x, p)

Функция game(x, p) решает задачу рекурсивно, где:

• x - текущее количество камней в куче
• p - номер хода (0 - ход Пети, 1 - ход Вани, и т.д.)

Базовые случаи:

if x <= 19: return p % 2 == 0

• Если камней ≤ 19, игра заканчивается
• Возвращаем True если это четный ход (ход Пети), False если нечетный (ход Вани)

if p == 0: return False

• Если ходов больше нет (p = 0), возвращаем False

Рекурсивные ходы:

h = [game(x - 4, p - 1), game(x - 6, p - 1), game(x // 2 + x % 2, p - 1)]

Рассматриваем все возможные ходы:

1. Убрать 4 камня
2. Убрать 6 камней
3. Разделить на 2 (округление вверх)

Логика выигрыша:

return any(h) if (p - 1) % 2 == 0 else all(h)

• Если следующий ход Пети (четный) - достаточно одного выигрышного хода (any)
• Если следующий ход Вани (нечетный) - все ходы должны быть выигрышными (all)

Поиск ответов

Решение ищет ответы на все три задания:

1. Задание 19:

print([s for s in range(300, 19, -1) if game(s, 2)])

Ищем S, где Ваня может выиграть первым ходом (p = 2)

2. Задание 20:

print([s for s in range(300, 19, -1) if not(game(s, 1)) and game(s, 3)])

Ищем S, где:

• Петя не может выиграть первым ходом (not(game(s, 1)))
• Петя может выиграть вторым ходом (game(s, 3))

3. Задание 21:

print([s for s in range(300, 19, -1) if not(game(s, 2)) and game(s, 4)])

Ищем S, где:

• Ваня не может выиграть первым ходом (not(game(s, 2)))
• Ваня может выиграть вторым ходом (game(s, 4))